Metrópole, Megalópole e Conurbação

Conurbação: Juazeiro e Petrolina

No Brasil, as conurbações surgem com as primeiras regiões metropolitanas, que começam a aparecer entre as décadas de 1950 e 1970, com o avanço do processo de industrialização.




Metrópole: Nova Iorque, EUA.




BosWash é uma megalópole localizada no nordeste dos Estados Unidos. Com população de aproximadamente 50 milhões de habitantes, é a maior megalópole do mundo, e abrange as seguinte metrópoles: Boston, Nova Iorque, Filadélfia, Baltimore e Washington.

PROGRAMA DO APRESENTADOR WANDERLEY CABELUDO FOI GRAVADO NA ESCOLA ADVENTOR



Júri simulado realizado no Tribunal de Justiça de Campo Grande-MS

Retrato

Eu não tinha este rosto de hoje,
assim calmo, assim triste, assim magro,
nem estes olhos tão vazios,
nem o lábio amargo.

Eu não tinha estas mãos sem força,
tão paradas e frias e mortas;
eu não tinha este coração
que nem se mostra.

Eu não dei por esta mudança,
tão simples, tão certa, tão fácil:
- Em que espelho ficou perdida
a minha face?

Cecília Meireles

Questões:

1- Em várias passagens desse poema, há repetição de palavras. Que efeitos a repetição dessas palavras causa no poema?

O eu lírico , a partir de tais repetições, mostra musicalidade em seu poema.


2- O "Retrato que o eu lírico faz de si diante do espelho é apenas físico? Justifique sua resposta com elementos do texto.

Não. O eu lírico percebe ter se tornado uma pessoa mais serena, percebe-se tal transformação nos versos: "eu nao tinha este coração que nem se mostra".

3-A que mudança o eu lírico se refere na última estrofe do texto? Por que essa mudança foi considerada tão simples, tão fácil,tão certa?

Refere-se, nesta estrofe, à velhice que ocorrerá com toda e qualquer pessoa, um processo natural da vida, que acontece de vagar e sem que haja esforços.


4- Faça uma pesquisa e aponte quais são as principais características da obra de Cecília Meireles. Encontre algumas dessas características no poema lido.

Características de Cecília: o lirismo; a consciência da efemeridade; o tempo das pessoas, das coisas; a solidão, a morte, a melancolia, a tristeza, preocupação com temas universais, reflexão filosófica e musicalidade.

Características de Cecília encontradas no poema: consciência da efemeridade;o tempo das pessoas, das coisas; a solidão,a melancolia e musicalidade.

Elaborado por: Daniel A. Amaral - RA 931913

Introdução

Carl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu até 1855. É considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton, e seus campos de interesse excederam os de ambos. Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemática e para a Teoria dos Números. Seu pai era jardineiro e assistente de um comerciante, e enquanto criança mostrou grande talento para a matemática. Sua produção intelectual foi precoce; existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. Diz a história que sua professora primária para manter a classe ocupada, lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100, tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilização da fórmula da PA.

Sn = n.(a1 + an) / 2

Amigos de seu professor o apresentaram ao Duque de Brunswick, quando tinha 14 anos. O Duque passou a financiar sua educação e posteriormente suas pesquisas científicas. Gauss ingressou na universidade em outubro de 1795. Em seu primeiro semestre na universidade fez uma brilhante descoberta que o homem buscava a mais de 2000 anos como construir com compasso e esquadro. Esta descoberta foi comemorada com o início de seu diário que durante os próximos 18 anos foi testemunha de muitas de suas descobertas. Dentre suas descobertas nos tempos de estudante as mais significativas são a do método dos mínimos quadrados, a prova da reciprocidade quadrática na teoria dos números.

Até a idade de 20 anos Gauss teve um grande interesse por idiomas e quase se tornou um filologista. Posteriormente, literatura estrangeira e leituras sobre política eram seus passatempos, ambos com tendências conservadoras. Aos 28 anos, quando atingiu uma condição financeira confortável ele se casou com Johanne Osthof, sendo muito feliz. Teve com ela tres filhos. Porém, depois do nascimento do terceiro filho, em 1809, sua esposa faleceu. Depois ele se casaria novamente e teria mais tres filhos, no entanto sua vida não foi mais a mesma, e voltou-se cada vez mais para a pesquisa matemática.

Gauss obteve seu doutorado com a defesa de uma tese intitulada NEW DEMOSNSTRATION OF THE THEOREM THAT EVERY RATIONAL INTEGRAL ALGEBRIC FUNCTION IN VARIABLE CAN BE SOLVED INTO REAL FACTORS OF FIRST OR SECOND DEGREE.

A década de ouro

Em 1798 Gauss retornou a Brunswick, onde ele viveu sozinho e continuou seu intensivo trabalho. No próximo ano com a quarta prova do teorema fundamental da álgebra, concluiu seu doutorado em 1801. A criatividade dos anos que se precederam se refletiram em duas descobertas :"DISQUESITIONES ARITHMETICAE" e o cálculo da órbita do planeta Ceres que havia sido recentemente descoberto.

A teoria dos números é um ramo da matemática que caminha para generalizações, entretanto é cultivada desde a antiguidade. O final do século XVIII foi considerado uma grande coleção de resultados isolados . Em sua DISQUESITIONES Gauss sumarizou seu trabalho anterior de forma sistemática, e solucionou algumas das mais difíceis questões, simulou conceitos e questões que serviram de guia para o século e ainda são significantes hoje. São alguns destes trabalhos, a prova da lei da reciprocidade quadrática, o desenvolvimento da teoria da composição de formas quadráticas, e completou a análise da equação ciclotômica.

Em janeiro de 1801 G.Piazzi observou e perdeu um novo planeta. Durante o restante do ano astrônomos tentaram em vão relocalizar o novo planeta. Em setembro, com o término de sua obra DISQUESITIONES, Gauss decidiu assumir mais este desafio. Para isso ele aplicou duas das mais apuradas teorias de órbitas e improvisou métodos numéricos. Em dezembro a tarefa estava cumprida e o planeta foi encontrado na órbita pré-calculada. Este feito de localizar um corpo celeste pequeno e distante com informações visuais insuficientes pareceu sobre-humana, principalmente porque Gauss não revelou seus métodos. Juntamente com o DISQUESITIONES Gauss firmava sua reputação de matemático e cientista genial. Esta década que começava com o DISQUESITIONES e Ceres foi decisiva para Gauss. Cientificamente este foi o principal período de exploração de idéias, foi o ponto de partida para a próxima década, terminando com a publicação da THEORIA MOTUS COUPORUM COILESTIUM IN SECTIONIBUS CONICS SOLEM AMBIENTUM, em que Gauss desenvolveu sistematicamente seus métodos de cálculo de órbitas incluindo a teoria e o uso de quadrados mínimos.

Profissionalmente esta foi uma década de transição para a matemática astronômica apesar disso Gauss estava bem com seu patronado do duque, entretanto se sentia inseguro e precisava de um posto mais sólido. No entanto, Gauss sentiu muito quando o Duque foi morto na Batalha de Jena (1806) em combate a Napoleão. A astronomia acabou sendo a opção mais interessante. Gauss assumiu o posto de direção do observatório de Göttingen sendo que nesta época já era afiliado à LONDON ROYAL SOCIETY e às academias russa e francesa.

Trabalhos de física

Após a metade da década de 1820 Gauss se rendeu às pressões financeiras, e aos problemas de saúde e de família. Os estudos de Gauss tiveram seu início formal em 1829 com estudos sobre o campo magnético terrestre, porém Gauss mostrou pouca experiência para realizar medições, o que tornou valiosa a colaboração de Weber, um jovem e brilhante fisico. Em outubro deste ano Gauss voltou-se a estender seus conhecimentos no campo da física, começando a trabalhar em problemas de física teórica, especialmente em mecânica, capilaridade, acústica, óptica e cristalografia, tendo como primeiro fruto destes trabalhos o "UBER EIN NEUES ALLGEMEINES GRUNDGESETZ DER MECHANIK".

Em 1830, Gauss publicou o "PRINCIPIA GENERALIA THEORIARE FIGURAE FLUIDORUM EN STATU AEQUILIBRII" que foi uma importante contribuição para o campo da capilaridade e teve um importante papel no cálculo de variações, pois foi a primeira solução envolvendo integrais duplas, condições de contorno e limites variáveis.

Em 1832 Gauss apresentou à Academia o "INTENSISITAS VIS MAGNECTICAE TERRESTRIS AD MENSURAM ABSOLUTAM REVOCATA", em que aparece pela primeira vez o primeiro uso sistemático de unidades absolutas (distância, massa, tempo) para medir grandezas não mecânicas.

Juntamente com Weber, em 1833, Gauss chegou às leis de Kirchoff e antecipou várias descobertas na eletricidade, estática, térmica e da fricção, porém não publicaram resultados, pois seus interesses estavam voltados ao eletromagnetismo terrestre, sendo que a publicação de maior relevância neste campo foi "ALLGEMEINE THEORIE DES ERMAGNETISMUS (1839)" no qual Gauss expressa o potencial em qualquer ponto da superfície da terra como uma série infinita de funções esféricas, juntamente com dados experimentais.

Gauss terminou suas pesquisas no campo da física com a publicação de "ALLGEMEINE LEHRSATSE IN BEZIEHUNG AUF DIE IM VERKEHRTEN VERHALTNISSE DES QUADRATS DER ENTFERNUNG WIRKENDEN ANZIEHUNGS UND ABSTOSSUNGSKRAFTE (1840)". No mesmo ano Gauss terminou o 'DIOPTRISCHE UNTERSUCHUNGEN (1841), no qual ele analisa o caminho da luz através de um sistema de lentes e mostrou entre outras coisas, que qualquer sistema é equivalente à escolha correta de uma única lente. Gauss dizia que esta teoria era de seu conhecimento a quarenta anos, porém ele as considerava muito elementares para serem publicadas, sendo que esta teoria foi tida como um de seus melhores trabalhos, por parte de um de seus maiores biógrafos.

Últimas obras

Com o aparecimento dos trabalhos sobre superfícies curvas o clima do mundo da matemática começou a mudar. Um dos mais significativos aspectos desta mudança foi a fundação de um novo periódico científico. A iniciativa prévia de manter um periódico matemático foi da Escola Politécnica, quando esta começou a publicar sua revista. Pouco tempo depois, em 1810, o primeiro periódico matemático foi publicado: era o ANNALES DE MATH&EACUTEMATIQUES PURES ET APLIQUE&EACUTES. Dentre estes novos periódicos que surgiam, Gauss participou com dois pequenos artigos no JOURNAL FUR DIE REINE UND ANGERANDLE MATHEMATICH. Um destes artigos foi uma prova do teorema de Hariot na álgebra, enquanto o outro continha o princípio de Gauss da restrição mínima.

Durante os últimos 20 anos de sua vida Gauss publicou artigos de grande interesse para a matemática. Um destes foi a quarta prova do teorema fundamental da álgebra que ele realizou na época de seu doutorado (1849), 15 anos depois da publicação de sua primeira prova. A outra foi um texto sobre teoria potencial em 1840 em um dos volumes de "GEOMAGNÉTIC RESULTS", que foi co-editado com seu jovem amigo o físico Wilhelm Weber. O geomagnetismo ocupou grande parte do tempo de Gauss na década de 1830. A maioria de suas publicações na última década de sua vida no observatório astronômico, faziam menção aos planetas recém descobertos, como Netuno.

A matemática gaussiana, serviu de ponto de partida para muitas das principais áreas de pesquisa da matemática moderna. As anotações de Gauss mostraram posteriormente que ele antecipou a geometria não-Euclidiana, 30 anos antes de Bolyai e Lobachevsky. Descobriu o teorema fundamental de Cauchy da análise complexa 14 antes. Descobriu os quaternios antes de Hamilton e antecipou muitos dos mais importantes trabalhos de Legendre, Abel e Jacobi. Se Gauss tivesse publicado todos os seus resultados, teria feito avançar o progresso da Matemática em mais de 50 anos.


JEAN ROBERT ARGAND



Jean Robert Argand nasceu em Genebra (Suiça), a 18 de Julho de 1768. Apesar de ser apenas um matemático amador, Argand ficou famoso pela sua interpretação geométrica dos números complexos, onde i é interpretado como uma rotação de 90º.

O primeiro a publicar a interpretação geométrica de Argand foi Caspar Wessel, no entanto, o nome de Argand nunca apareceu no livro, e por isso era impossível identificar o seu autor. Foi necessário muito tempo para que o trabalho de Argand fosse conhecido como seu.

Em Setembro de 1813, Jacques Français publicou um trabalho no qual aparecia uma representação geométrica dos números complexos, com aplicações interessantes, baseadas nas ideias de Argand. Nesta publicação, Jacques Français dizia que as ideias eram baseadas no trabalho de um matemático desconhecido, e pedia que este se desse a conhecer, para receber o devido crédito pelas suas ideias. O artigo apareceu no jornal GergonneŽs, e Argand respondeu a Jacques Français dizendo que era ele o autor dessas ideias. A partir daqui o trabalho de Argand começou a ser conhecido.

Argand apresentou ainda uma prova para o "Teorema Fundamental da Álgebra", sendo, possivelmente, o primeiro a trabalhar com o teorema no caso em que os coeficientes são números complexos.

Jean Robert Argand faleceu a 13 de Agosto de 1822, em Paris.


Bibliografia


History of Mathematics
Dictionary of Science History

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm25/argand.htm



Plano de Argand-Gauss



A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário.
A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos:


Gauss, Carl Friedrich (1777-1855)


Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss.

Com base no plano representado vamos calcular a distância p (letra grega: rô), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa forma temos:



O módulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser representado por |z|.
A ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do segmento OP, é chamado de argumento de z (z ≠ 0) e é indicado por Arg(z). Baseado nessas definições podemos estabelecer as seguintes relações na interpretação geométrica dos complexos:

Exemplo
Calcule o módulo e o argumento do número complexo z = 1 + 2i.



Módulo
a = 1 e b = 2


Argumento
Ө = Arg(z)

Portanto, o argumento de z é o arco cuja tangente é 2.

Veja como ficaria o gráfico representativo do número complexo z = 1 + 2i.



Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

História dos Números Complexos

Período: 1545 A 1572 d.C.
Assuntos matemáticos envolvidos:
• Álgebra: números complexos; equações cúbicas e quadráticas
• Análise: números imaginários

O fato de que um número negativo não tem raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com a questão.
As equações de segundo grau apareceram na matemática já nas tabuletas de argila da Suméria, aproximadamente 1700 anos antes de Cristo e,
ocasionalmente, levaram a radicais de números negativos; porém, não foram elas, em momento algum, que sugeriram o uso de números complexos.
A rigor, uma equação era vista como a formulação matemática de um problema concreto; assim, se no processo de resolução aparecia uma raiz quadrada de um número negativo, isto era interpretado apenas como uma indicação de que o problema originalmente proposto não tinha solução. Como veremos neste capítulo, foram só as equações de terceiro grau que impuseram a necessidade de trabalhar com estes números.
Vejamos inicialmente alguns antecedentes. Um primeiro exemplo desta atitude aparece na Arithmetica de Diophanto. Aproximadamente no ano de 275 d.c. ele considera o seguinte problema:
Um triângulo retângulo tem área igual a 7 e seu perímetro é de 12 unidades. Encontre o comprimento dos seus lados.
Chamando x e y o comprimento dos catetos desse triângulo temos, na nossa notação atual:
.
Substituindo y em função de x obtemos a equação:
,
cujas raízes são:
.
Neste ponto Diophanto observa que só poderia haver solução se o que implica, obviamente, que não existe o triângulo procurado. Neste contexto, é claro que não há necessidade alguma de introduzir um sentido para a expressão .
Outras referências à questão aparecem na matemática indiana. Aproximadamente no ano 850 d.c., o matemático indiano Mahavira afirma:
... como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem portanto raiz quadrada.
Já no século XII o famoso matemático Bhaskara (1114-1185 aprox.) escreve:
O quadrado de um positivo é positivo; e a raiz quadrada de um positivo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo; pois ele não é um quadrado.
Também na matemática européia aparecem observações desta natureza, Luca Paccioli, na sua Summa di Arithmetica Geometria, publicada em 1494, escreve que a equação é solúvel somente se e o matemático francês Nicolas Chuquet (1445-1500 aprox.) faz observações semelhantes sobre ``soluções impossíveis'' num manuscrito não publicado de 1484.
Desde que os babilônios descobriram a forma de resolver equações quadráticas, se passaram mais de 3000 anos até a descoberta da fórmula que da as raízes das equações de terceiro grau por Del Ferro, Cardano e Tartaglia no início do século XVI. Dada a equação , a fórmula de Cardano-Tartaglia que permite obter uma raiz é:
.
Esta fórmula, junto com o método de resolução das equações de quarto grau, foi dada a público em 1545, no Ars Magna, de Cardano. A publicação desta obra deu um novo impulso ao estudo da álgebra.
É claro que quando a fórmula parece não ter sentido: porém, mesmo neste caso, a equação pode ter solução.
Em 1575, um outro algebrista italiano chamado Raphael Bombelli publicou um livro chamado Álgebra em que descreve as idéias de Cardano de forma didática. é precisamente neste livro onde aparece pela primeira vez a necessidade explícita de introduzir os números complexos e também uma primeira apresentação do assunto.
Ao aplicar a fórmula acima ao exemplo , Bombelli obtém:
,
mas é facil perceber diretamente que é uma solução desta equação.
Bombelli decidiu trabalhar como se raízes quadradas de números negativos fossem verdadeiros números. Ele concebe que a raiz cúbica de pode ser um ``número'' da mesma forma, isto é, do tipo . Talvez, a raiz cúbica de seja da forma . Neste caso, ter-se-ia que , donde é fácil deduzir que . Assumindo que se aplicam a estes números as regras usuais dos cálculos algébricos não foi difícil descobrir que e verificar que, de fato,
.
Bombelli percebeu claramente a importância deste achado. Ele diz:
Eu achei uma espécie de raiz cúbica muito diferente das outras, que aparece no capítulo sobre o cubo igual a uma quantidade e um número. ... A princípio, a coisa toda me pareceu mais baseada em sofismas que na verdade, mas eu procurei até que achei uma prova.
O caso em que , era chamado na época de casus irreducibilis porque qualquer tentatica de calcular de fato o valor da incógnita pela fórmula de Cardano-Tartaglia, sem conhece-lo antecipadamente leva, de novo, à equação de terceiro grau original. Porém, este era, em certo sentido, o mais importante de todos, pois é justamente o caso em que a equação considerada tem três raízes reais.
Faremos aqui um pequeno resumo da evolução dos números complexos, para que o leitor tenha uma visão global da história do assunto.
• O símbolo foi introduzido em 1629 por Albert Girard.
• O símbolo i foi usado pela primeira vez para representar por Leonhard Euler em 1777, apareceu impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou amplamente aceito após seu uso por Gauss em 1801.
• Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez por René Descartes em 1637.
• A expressão número complexo foi introduzida por Carl Friederich Gauss em 1832.
• A representaçãp gráfica dos números complexos foi obtida independentemente por Caspar Wessel, em 1799; Jean-Robert Argand, em 1822 e Carl Friederich Gauss, em 1831.
• A apresentação hoje usual dos números complexos como pares ordenados de números reais foi dada por Sir William Rowan Hamilton em 1837.